分子平均速率与什么有关
分子平均速率就是就是无数个分子的平均速率大小。分子平均速率跟分子的摩尔质量以及温度有关。若温度相同，则质量小的物质分子平均速率大，质量大的物质分子平均速率小。
在某一时刻，某一特定分子的速度大小是不可预知的，且运动方向也是随机的。但在一定的宏观条件下，对大量气体分子而言，它们的速度分布却遵从一定的统计规律。麦克斯韦在1859年用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子的速度分布是有规律的，这个规律称为麦克斯韦速率分布律，并给出了它的分布函数表达式。
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v~v+dv的分子数占总分子数的比率为：
麦克斯韦速率分布函数：
其中m为一个气体分子的质量，k为玻尔兹曼常量，T为系统的热力学温度，e为自然对数的底。
麦克斯韦速率分布律形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。麦克斯韦速率分布律通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
一个关于麦克斯韦速率分布的问题
f(v)dv 表示 v ~ v+dv 之间的 分子数 的相对比例，积分（本质是求和）以后，就是速度v 的加权平均， 也叫按比例平均，即，平均速度。
f(v)叫分布函数，数学上也叫概率密度（不是概率是密度）函数。
这个问题，更多的是数学问题而不是物理问题。
已知fv为麦克斯韦速率分布函数vp为分子的最概然速率则 ∫pfvvv0d 表示_速率vvp的……
我也遇到了这个问题，不过想通了。分子部分代表的不是平均速率，而是平均速率乘了一个百分率。可以从f（v）=dN／（Ndv）公式中分析，如果N代表的是大于vp的总分子数分子就是平均速率了，而N是所有分子的总数目，所以分子相当于平均速率乘上了一个大于vp分子数的百分率，从而需要除以这个百分率
热学第二版（李椿） 第三章思考题、课后习题答案
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律 3-1 设有一群粒子按速率分布如下：粒子数Ni24682速率Vi（m/s）1.002.003.004.005.00 试求(1)平均速率V；（2）方均根速率 （3）最可几速率Vp 解：（1）平均速率：(m/s) (2) 方均根速率(m/s)3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。解： 3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。解： 代入数据则分别为：T=100K时 T=1000K时 T=10000K时 3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。解：因 由题意得： ∴T2/T1= 3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s） 解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：△ N= ∵ Vp2= ，代入上式 △N= 因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s，又 △V=1m/s（=1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个 3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。解： 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s由5题计算过程可得：△V1= △N2= ∴ △N/△N2= 其中VP= m/s =1.375，=0.687 ∴ 解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，△N2 dN= △N1= △N2= 令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果:∴ △N1= （1） △N2= （２）其中VP= 查误差函数表得： erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722将数字代入（１）、（２）计算，再求得： 3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：（1） 速率在区间vp～1.0vp1内（2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内（3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3（1） 由麦氏速率分布律：△ N= 令v2=1.01vp，vi=vp， ，则 ， ，利用16题结果可得；查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468∴ （2） 由麦氏速率分布律：∴ 令 ， ， ∴ 利用误差函数：（3）令 ，由麦氏速度分布律得： 3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得：将π=3.14，N=NA=6.02×1023T=100Km=32×10-3代入上式得到常数：A= ∴ （1）为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：令 则得 又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0又 ∵T1=100K＜T2=400K∴ ＜ 由此作出草图3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值 。解： 3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？解：（1） （2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为： 其中 是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数， 是小孔面积，t=3600s，故 ，代入数据得： N=4.05×1019（个）∴ 3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：证明：设p1＞p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。 从1跑到2的分子数： 从2跑到1的分子数： 实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）因t=1秒， ， T1=T2=T∴ 若P2＞P1，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。 3-12 有N个粒子，其速率分布函数为(1)作速率分布曲线。(2)由N和v0求常数C。(3)求粒子的平均速率。解：（1） 得速率分布曲线如图示（2）∵ ∴ 即 （3） 3-13 N个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v＞v0时，粒子数为零）。（1）由N和V0求a。（2）求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数。（3） 求分子的平均速率。 解：由图得分子的速率分布函数： ( ) ( ) f(v)= ( )(1) ∵ ∴ (2) 速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数 3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： 其中 证明：∴ 3-15设气体分子的总数为N，试证明速度的x分量大于某一给定值vx的分子数为： （提示：速度的x分量在0到 之间的分子数为 ）证明：由于速度的x分量在区间vx～vx +dvx内的分子数为：故在vx～ 范围内的分子数为： 由题意： 令 利用误差函数得：∴ 3-16 设气体分子的总数为N，试证明速率在0到任一给定值v之间的分子数为：其中 ，vp为最可几速率。[提示： ]证明：令 ，则 ∴ 由提示得： ∴ 3-17 求速度分量vx大于2 vp的分子数占总分子数的比率。 解：设总分子数N，速度分量vx大于2 vp的分子数由15题结果得：其中 可直接查误差函数表得：erf（2）=0.9952也可由误差函数： erf（z）= 将z=2代入计算得：erf（2）=0.9752∴ 3-18 设气体分子的总数为N，求速率大于某一给定值的分子数，设（1）v=vp（2）v=2vp，具体算出结果来。解：（1）v=vp时，速率大于vp的分子数：利用16题结果：这里 ∴ （2）v=2vp时， ，则速率大于2vp的分子数为： 3-19 求速率大于任一给定值v的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。解：由18题结果可得单位体积中速率大于v的分子数为：在垂直x轴向取器壁面积dA，则速率大于v能与dA相碰的分子，其vx仍在0～ 间，由《热学》P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v的分子数为： 3-20 在图3-20所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K，转筒的直径为D=10cm，转速为ω=200πl/s，试求铋原子Bi和Bi2分子的沉积点P′到P点（正对着狭缝s3）的距离s，设铋原子Bi和Bi2分子都以平均速率运动。解：铋蒸汽通过s3到达P′处的时间为：在此时间里R转过的弧长为：∵ ∴ 代入数据得：3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为270C；起飞后压力计指示为0.80atm，温度仍为27 0C，试计算飞机距地面的高度。 解：根据等温气压公式： P=P0e – 有In = – ∴ H = – In �6�1 其中In =In = -0.223，空气的平均分子量u=29.∴H= 0.223× =2.0×103(m)3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0 0C. 解：由题意知： =0.75 故H = -In �6�1 代入数据得：H =2.3×103(m)3-23 设地球大气是等温的，温度为t=5.0 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高。已知空气的平均分子量为28.97. 解：H = – In �6�1 代入数据得：H=2.0×103(m)3-24 根据麦克斯韦速度分布律，求气体分子速度分量vx的平均值，并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能。 解：（1） x=∫∞ -∞vx2f(vx)dv x =2 ∫∞ 0vx2( ) e – vx2dv x = v -1p∫∞ 0vx2 e – vx2dv x查《热学》附录3-1表得： x= Vp-1( )3/2= 同理可得： y= x= (2)分子总的平动能： 2= 2= = m x= 同理得： = = 可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于 KT.3-25 令ε= mv2表示气体分子的平动能，试根据麦克斯韦速率分布律证明，平动能在区间ε～ε+dε内的分子数占总分子数的比率为：f(ε)dε= (KT) -3/2ε �6�1e-ε/KT�6�1dε 根据上式求分子平动能ε的最可几值。 证明：（1） ∵ f(v)dv =4∏( )3/2�6�1e v2v2dv = (KT) -3/2�6�1( v2)1/2�6�1e-mv2/2KT�6�1d( ) ∵ ε= mv2 故上式可写作： F(ε)dε= (KT) -3/2�6�1ε �6�1e -ε/KT�6�1dε(2) 求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε值。 = (KT) -3/2 [ε �6�1e -ε/KT(- )+e- �6�1 ε- ] = (KT) -3/2e – ( ε- -ε /KT)=0 ∴ ε- -ε =0 得: εp = ε = 3-26 温度为27 0C时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？ 解：氧气为双原子气体，在T=300K下有三个平动自由度，两个转动自由度。 由能均分定理得： ε= RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J) = RT = 8.31×300 = 2.49×103(J) 3-27 在室温300K下，一摩托车尔氢和一摩尔氮的内能各是多少？一克氢和一克氮的内能各是多少？ 解：U氢= RT =6.23×103(J) U氮= RT =6.23×103(J) 可见，一摩气体内能只与其自由度（这里t=3,r=2,s=0）和温度有关。 一克氧和一克氮的内能： U= ∴U氢= = = 3.12×103(J) U氮= = = 2.23×103(J)3-28 求常温下质量为M=3.00g 的水蒸气与M=3.00g的氢气的混合气体的定容比热 解：设Cv1 ‘、Cv2 ‘分别为水蒸气和氢气的定容比热，Cv1 、Cv2分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容量。在常温下可忽略振动自由度，则有： Cv1= R =3R ∴Cv1’= = Cv2= R =2.5R Cv2’= = Cv = = = ( + ) = 5.9 (J/gK)3-29 气体分子的质量可以由定容比热算出来，试推导由定容比热计算分子质量的公式。设氩的定容比热Cv = 75Cal�6�1Kg-1�6�1K-1,求氩原子的质量和氩的原子量. 解：（1）一摩尔物质定容热容量为：Cv =ucv,对理想气体来说： Cv = (t+r+2s)R 分子质量m = = �6�1 = (t+r+2s)R�6�1 = (t+r+2s) �6�1 (Cv=75cal/kg�6�1k) (2) 氩是单原子分子，故Cv = R =3(Cal/mol�6�1K) 故氩的原子量u= = 4.0×10-2(Kg/mol)
气体分子的最概然速率，平均速率以及方均根速率各是怎么定义的
最概然速率:速率分布曲线上，速率分布函数f(v）的极大值对应的速率叫做最概然速率，用Vp表示。平均速率:气体分子速率的算术平均值称为气体分子平均速率。平均根速率:气体分子速率的平方的平均值的平方根称为气体分子的方均根速率。平均速率可以理解吧，就是有这样一堆分子，每个速率一样，还有一堆同样数量的分子，它们的速率不是全部相同，但是它们在相同体积下的平均碰撞频率相同，那么前面那个速率就是平均速率 就是有这样一堆分子
最概然速率up《平均速率 为什么
麦克斯韦速率分布函数是f(v)=4πv^2·[m/(2πkT)]^1.5·exp[-mv^2/(2kT)]
最概然速率vp对应df(v)/dv|(v=vp)=0，解得vp=(2kT/m)^0.5
平均速率vm=∫vf(v)dv=[8kT/(πm)]^0.5
很明显，vp=(2kT/m)^0.5[8kT/(πm)]^0.5=vm
这个结论也可以比较简单地从麦克斯韦速率分布图上看出来：分布函数的极大值处就是最概然速率vp。如果分布函数曲线是对称的，平均速率vm就会和函数极大值处重合，那么vm=vp。但分布函数曲线不是对称的，在大速率部分有个很大的“尾巴”。这样，以极值处为分界，右边即大速率部分的权重要更大一些，因此平均速率vm会偏向右边，也就是大于最概然速率vp。
如果楼主对这个结论的数学推导还有什么不清楚的，可以发消息给我。
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