可逆对称矩阵的定义(可逆反对称矩阵的定义)

一个矩阵在什么情况下是可逆的,什么情况下是正定的?

1.一个矩阵在什么情况下是可逆的,

设矩阵为M

则M为方阵且|M|不等于0

2.设M是n阶实系数对称矩阵,如果对任何非零向量 X=(x_1,…x_n) 都有 X′MX0,就称M正定(Positive Definite).正定矩阵在相合变换下可化为标准型,即单位矩阵.所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵.

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正.判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正.判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵.

什么是矩阵可逆

证明矩阵可逆的方法如下

1、矩阵的秩小于n，那么这个矩阵不可逆，反之可逆；

2、矩阵行列式的值为0，那么这个矩阵不可逆，反之可逆；

3、对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；

4、对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。

一、逆矩阵

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

注：E为单位矩阵。

二、定义

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E.

并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

三、性质

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

4、证明

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。

2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

4、矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

5、由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O

而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O

2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。

得B-C=O，即B=C。

请问一下 逆对称矩阵的定义是什么？ 性质是什么？

有这个术语吗 ？

有对称矩阵， 反对称矩阵。

有对称矩阵的逆矩阵， 有对称的逆矩阵

可逆对称的逆矩阵是对称矩阵

可以用逆矩阵的性质如图证明对称阵的逆矩阵也是对称阵。具体回答如图：

任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和。

：

可逆矩阵一定是方阵。如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。两个可逆矩阵的乘积依然可逆。矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数。

若矩阵A满足条件A=A\’，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

–对称矩阵

逆对称矩阵

实对称矩阵的定义需要满足两个条件：是对称矩阵。是实数矩阵 对称矩阵很好判断，即矩阵转置后与原矩阵相等。因此不难看出其中一个必要条件是矩阵必须满足是n阶方阵。 实数矩阵，也容易判断，矩阵的共轭矩阵是其自身。结合上述条件，也可以得到这样的等价判断条件：实对称矩阵?共轭转置矩阵(又称埃尔米特共轭转置)是其自身。

矩阵可逆的定义和推论

因为在定义的时候并不知道AB=E就意味着BA=E，也就是说矩阵的乘法运算一般不具有交换性，

因此AB和BA不一定相等。所以在定义逆矩阵的时候就要求AB和BA都是E才行。

只不过后面才证明了如果AB=E，则必有BA=E。

如果一开始你先证明AB=E，则必有BA=E，那么定义时就可以只取一个等式就可以了。