三阶无穷小是什么意思?
三阶无穷小是：x–0x是一阶无穷小，x^2是二阶无穷小，则x^3是三阶无穷小。
“无穷小的阶”是一个相对的概念，是两个无穷小的比较。
习惯上称【x-a是在x→a时的基本无穷小】，【1/x是在x→∞时的基本无穷小】。
在x→a时，笼统说“无穷小量f(x)是k阶无穷小”应该理解为“对于基本无穷小x-a而言”的。
有比任意有确定阶的无穷小更高阶的无穷小量函数。
关于同阶无穷小：
1、同阶无穷小（Infinitesimal of the same order），是以数零为极限的变量，其主要对于两个无穷小量的比较而言，意思是两种趋近于0的速度相仿。无穷小量的函数值与零无限接近。如果在x→0时，f(X)=0，则称f(X)=0是当x→0时的无穷小量，简称无穷小。
2、无穷小量。如果在x→0时，f(X)=0，则称f(X)=0是当x→0时的无穷小量，简称无穷小。
无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞）时的无穷小量。
例如，f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(1/n)=是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量（注意：特别小的数和无穷小量不同）。
三阶无穷小是什么意思？
三阶无穷小是：x–0x是一阶无穷小，x^2是二阶无穷小，则x^3是三阶无穷小。
在x=0的领域作Taylor Expansion:
e^x=1+x+(1/2)x^2+ (1/6)x^3+…
1/(1+x)=1-x+x^{2}-x^{3}+…
要使得f(x)为x的三阶无穷小. 即是 f(x) 的 taylor expansion 正比于 x^{3}
f(x)=(1+2x+2x^{2}+(4/3)x^{3}+…)-(1+ax)(1-bx+b^{2}x^{2}-b^{3}x^{3}+…)
收敛半径和收敛区间：
幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛。
反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。
求下列函数哪个是x的3阶无穷小？
你用C选项除以X的3次方，当X趋于0时，使用洛必达法则(分子分母同时求导)，会得到极限等于二分之一。所以C选项是X的三阶无穷小。
当x→0时，下列哪一个函数是x的三阶无穷小
由题意，
lim
x→0
f(x)?f(?x)
x3
＝c≠0，
而函数f （x）在x=0的某邻域内有三阶连续导数
∴上式极限利用洛必达法则，得
c＝
lim
x→0
f′(x)+f′(?x)
3×2
=
lim
x→0
f″(x)?f″(?x)
6x
=
lim
x→0
f″′(x)+f″′(?x)
6
∴必有f′（0）=f″（0）=0，f″′（0）≠0
∴x=0是f（x）的驻点，x=0不是f（x）的极值点，但（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
故选：a．
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